In systeem fan lineêre algebraic fergelikingen. Homogeen systeem fan lineêre algebraic fergelikingen

Op skoalle, elk fan ús studearre de fergeliking en, wis, it systeem fan fergelikingen. Mar net folle minsken witte dat der binne ferskate manieren om oplosse se. Hjoed sille wy sjogge krekt al de metoades foar it oplossen fan in systeem fan lineêre algebraic fergelikingen, dy't bestiet út mear as twa fergelikingen.

ferhaal

Hjoed witte wy, dat de keunst fan it oplossen fan fergelikingen en harren systemen ûntstien yn âlde Babel en Egypte. Lykwols, gelykheid yn harren fertroude foarm ferskynde foar ús nei it foarkommen fan de gelikense teken "=", dat waard yntrodusearre yn 1556 troch Ingelske wiskundige rekord. Troch de wei, dit symboal waard keazen foar in reden: it betsjut twa parallelle gelikense segminten. Yndie, it bêste foarbyld fan gelikensens net opkommen.

De grûnlizzer fan de moderne lettering en symboalen fan ûnbekende omfang, de Frânske wiskundige Fransua Viet. Lykwols, syn oantsjutting is gâns oars as hjoed. Bygelyks, in fjouwerkant fan in ûnbekend oantal er oanwiisd troch de letter Q (lat "quadratus".), En de kubus - de letter C (lat "cubus".). Dy symboalen no lykje ûngemaklik, mar doe wie it de meast yntuïtive manier te skriuwen in systeem fan lineêre algebraic fergelikingen.

Lykwols in efterstân yn de hearskjende metoaden fan oplossing wie dat wiskundigen hawwe sjoen allinne de positive woartels. Faaks dat komt troch it feit dat negative wearden ha gjin praktyske tapassing. Ien of oare wize, mar de earste dy't beskôge wurde negative woartels begûn nei de Italjaanske wiskunde Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano en Raphael Bombelli yn de 16e ieu. In moderne útstrieling, de wichtichste wize fan oplossen kwadratyske fergelikingen (fia discriminant) waard oprjochte pas yn de 17e ieu troch de wurken fan Descartes en Newton.

Yn it midden fan de 18e ieu Switserske wiskundige Gabriel Cramer fûn in nije manier om de oplossing fan systemen fan lineêre fergelikingen makliker. Dy metoade waard letter nei him neamd, en oant hjoed de dei brûke wy dat. Mar op 'e wize fan Kramer syn praat in bytsje letter, mar foar no we sille beprate lineêre fergelikingen en harren oplossings apart út it systeem.

lineêre fergelikingen

Lineêre fergelikingen - de simpelste fergeliking mei fariabele (s). Se hearre ta it algebraic. Lineêre fergelikingen skreaun yn de algemiene foarm as folget: a ₁ * x ₁ + a _{2 *} x ₂ + ... en _n * x _n = b. Yntsjinjen fan dit formulier wy sille moatte yn de tarieding fan systemen en matrices op.

In systeem fan lineêre algebraic fergelikingen

De definysje fan dizze term is: in set fan fergelikingen dy't hawwe mienskiplike unknowns en de algemiene oplossing. Typysk, op skoalle allegear oplost in systeem mei twa of sels trije fergelikingen. Mar der binne systemen mei fjouwer of mear ûnderdielen. Lit sjen earst hoe't te skriuwen se del sadat letter wie it handich om te lossen. Foarste plak, it systeem fan lineêre algebraic fergelikingen sille sjen better as alle fariabelen wurde skreaun as x mei de byhearrende yndeks: 1,2,3 ensafuorthinne. Twads, dan moat liede alle fergelikingen oan 'e kanonike foarm: a ₁ * x ₁ + a _{2 *} x ₂ + ... en _n * x _n = b.

Nei al dizze stappen, kinne wy begjinne te fertellen hoe te finen de oplossing fan systemen fan lineêre fergelikingen. Hiel folle foar, dat sil komme goed fan pas matriks.

matriks

Matrix - een tafel dy't bestiet út rigen en kolommen, en syn eleminten wurde op harren krusing. Dit kin wêze of in spesifyk wearde of fariabele. Yn de measte gefallen, as oantsjutting foar eleminten dy't oardere ûnder de subscripts (bgl, in ₁₁ of ₂₃ wol). De earste yndeks jout de rige nûmer, en de twadde - de kolom. Boppesteande matrices as hjirboppe en alle oare wiskundige elemint kin útfiere ferskate operaasjes. Sa, kinne jo:

1) subtract en heakje deselde grutte fan 'e tafel.

2) Multiply de matriks nei eltse getal of vector.

3) transpose: omfoarmje Matrix rigels yn 'e kolommen, en de kolommen - yn de rige.

4) Multiply de matriks, as it oantal rigen is lyk oan ien fan harren in oar oantal kolommen.

Om beprate yn detail al fan dy techniken, lykas se binne brûkber foar ús yn 'e takomst. Subtraction en tafoeging fan matrices is hiel simpel. Sûnt wy nimme deselde grutte Matrix, elk elemint fan ien tabel is besibbe oan alle oare elemint. Sa we add (subtract) twa fan dizze eleminten (it is wichtich dat se stiene op 'e selde grûn yn har matrices). Wannear't fermannichfâldige mei it tal matriks of vector jo gewoan fermannichfâldigje elk elemint fan de matriks troch dat oantal (of vector). Omsetting - een hiel nijsgjirrich proses. Hiel nijsgjirrich soms te sjen him yn it echte libben, bygelyks, doe't it wizigjen fan it oriïntaasje fan in tablet of telefoan. De byldkaikes op jo buroblêd is in matriks, en mei in feroaring fan de posysje, it wurdt omset en wurdt breder, mar ôfnimt yn hichte.

Lit ús ûndersykje mear in proses lykas matrix multiplication. Hoewol't hy fertelde ús, en is net brûkber, mar hâld der dan rekken is noch brûkber. MULTIPLY twa matrices kin allinnich ûnder it betingst dat it oantal kolommen yn ien tabel is gelyk oan it oantal rigen oare. No nimme iene matrix line eleminten en oare eleminten fan de byhearrende pylder. Fermannichfâldigje se oan elkoar en doe sum (i.e., bygelyks, in produkt fan de eleminten ₁₁ en ₁₂ en om ₁₂ b en ₂₂ b sil wêze gelyk oan: a * b _{11 12} + ₁₂ * b en _22). Sa, in inkele tafel item, en in metoade te ferlykjen mei it is folle fierder.

No kinne wy begjinne te betinkt hoe te oplosse systemen fan lineêre fergelikingen.

Gauss

Dit tema begûn te plakfine op skoalle. Wy witte hiel goed it begryp "systeem fan twa lineêre fergelikingen" en wit hoe't om oplosse se. Mar wat as it oantal fergelikingen is grutter as twa? Dit sil helpe ús Gauss metoade.

Fansels, dizze metoade is handich om te brûken, as jo meitsje in matriks fan it systeem. Mar do kinst it net konvertearre wurde en beslute op syn eigen.

Dus, hoe oplosse dat troch in systeem fan lineêre fergelikingen Gauss? By the way, ek al dizze metoade en nei him neamd, mar ûntduts it yn âlde tiden. Gauss hat in operaasje útfierd mei de fergelikingen, om úteinlik resultearje yn it gehiel oan Echelon foarm. Dat is, dan moatte top-down (as goed plak) fan de earste oant de lêste fergeliking waned ien ûnbekend. Mei oare wurden, moatte wy der wis fan, dat wy ha, sis, trije fergelikingen: de earste - trije unknowns, yn it twadde - twa yn 'e tredde - ien. Dan, út de lêste fergeliking, wy fine it earste ûnbekende, ferfange syn wearde yn it twadde of de earste fergeliking, en fierder fine de oerbleaune twa fariabelen.

Cramer syn regear

Foar de ûntwikkeling fan dizze technyk is fan libbensbelang de baas, de feardichheden fan Boppedat subtraction fan matrices, en ek de needsaak om te kinne om te finen determi-. Dêrom, as jo binne ûngemaklik dogge dit al of net witte hoe, is it nedich om te learen en wurde oplaat.

Wat is it wêzen fan dizze metoade, en hoe om dat te dwaan, om in systeem fan lineêre fergelikingen Cramer? It is hiel simpel. Wy moatte bouwe in matriks fan nûmers (hast altyd) de coefficients fan in systeem fan lineêre algebraic fergelikingen. Om dit te simpel nim it tal fen 'e ûnbekende, en wy regeljen in tafel yn' e oarder, dat se opnommen yn it systeem. As foardat it nûmer is in teken "-", dan wy skriuwe negatyf Koëffisjint. Sa, we makken de earste matriks fan de coefficients fan 'e unknowns, dêrûnder net begrepen it nûmer nei it' = '-teken (fansels, dat de fergeliking hat te ferlytsjen oan't de kanonike foarm as it rjocht is krekt in nûmer, en de linker - alle unknowns mei coefficients). Dan moatst om in pear matrices - ien foar eltse fariabele. Foar dit doel, yn 'e earste matriks wurdt ferfongen troch ien kolom elke kolom nûmers mei de coefficients nei it' = '-teken. Dêrmei krije wy in pear matrices en dan fine harren determi-.

Neidat wy fûn de kwalifikaasjewedstriden, it is lyts. We hawwe in earste matriks, en der binne ferskate ôflaat matrices, dy't korrespondearret mei ferskillende fariabelen. Om in systeem oplossing, wy ferdiele it determinant fan it úteinlike tafel op de primêre determinant fan 'e tafel. It ûntstiene nûmer is de wearde fan ien fariabele. Sa ek wy fine alle unknowns.

oare metoaden

Der binne ferskate metoades om te krijen de oplossing fan systemen fan lineêre fergelikingen. Bygelyks, in saneamde Gauss-Jordan metoade, dy't brûkt wurdt foar it finen fan oplossings fan it systeem fan kwadratyske fergelikingen, en ek ferhâldt ta it gebrûk fan matrices. Der is ek in Jacobi metoade foar it oplossen fan in systeem fan lineêre algebraic fergelikingen. Hy maklik past him oan alle kompjûters en wurdt brûkt by it berekkenjen.

yngewikkelde gefallen

Kompleksiteit meastal bart as it oantal fergelikingen is minder as it oantal fariabelen. Dan kinne wy grif sizze dat, of it systeem is in foarum (dat wol sizze, hat gjin woartels), of it tal fen syn besluten benaderjen liedt oant yn it ûneinige. As wy hawwe de twadde gefal - is it nedich om te skriuwen de algemiene oplossing fan it systeem fan lineêre fergelikingen. It sil bestiet út op syn minst ien fariabele.

konklúzje

Hjir komme wy oan 'e ein. Om gearfetsje: we moatte te begripen wat it systeem Matrix, learde te finen de algemiene oplossing fan in systeem fan lineêre fergelikingen. Dêrby wy achte oare opsjes. Wy betocht hoe't oplosse systemen fan lineêre fergelikingen: Gaussiaansk opheffing en Cramer syn hearskippij. We prate oer drege gefallen en oare manieren fan it finen fan oplossings.

Yn feite, dizze dei is folle mear útwreide, en as jo wolle better begripe kin, dan advisearje wy jo om te lêzen mear fan de spesjalisearre literatuer.