Lineêre en homogeen differinsjaaloperator fergeliking fan de earste oarder. foarbylden fan oplossings

Ik tink dat wy moatte begjinne mei de skiednis fan de glorieuze wiskundige ark as differinsjaaloperator fergelikingen. Lykas alle differinsjaaloperator en yntegraal calculus, dizze fergelikingen waarden útfûn troch Newton yn de lette 17e ieu. Hy leaude it wie syn ûntdekking sa wichtich, dat sels de fersifere berjocht, dêr't hjoed kin oerset wurde as folget: "Alle wetten fan de natuer beskreaun troch differinsjaaloperator fergelikingen." It kin lykje in oerdriuwing, mar it is wier. Eltse wet fan natuerkunde, skiekunde, biology, kin wurde beskreaun troch dizze fergelikingen.

In enoarme bydrage oan de ûntwikkeling en de skepping fan 'e teory fan differinsjaaloperator fergelikingen hawwe wiskunde fan Euler en Lagrange. Al yn de 18e ieu se ûntdutsen en ûntwikkele wat no studearre oan de senioarenploech universitêre kursussen.

In nije mylpeal yn 'e stúdzje fan' e differinsjaaloperator fergelikingen begûnen tank oan Anri Puankare. Hy makke in "kwalitative teory fan differinsjaaloperator fergelikingen", dêr't, yn kombinaasje mei de teory fan de funksjes fan komplekse fariabelen bydroegen gâns oan de stifting fan Mjitkunde - de wittenskip fan de romte en har eigenskippen.

Wat binne differinsjaaloperator fergelikingen?

In soad minsken binne bang fan 'e sin "differinsjaaloperator fergeliking". Lykwols, yn dit artikel sille wy sette út yn detail de essinsje fan dit hiel brûkbere matematysk ark dat eins net sa yngewikkeld as it liket út 'e titel. Om te begjinnen om te praten oer in earste-oarder differinsjaaloperator fergeliking, moatte jo earst e kunde komme mei de basis konsepten dy't djip assosjearre mei dizze definysje. En wy sille begjinne mei de differinsjaaloperator.

differinsjaaloperator

In soad minsken kenne dizze term sûnt hege skoalle. Lykwols noch wenje op it yn detail. Tinken út de grafyk fan de funksje. Wy kinne fergrutsje it nei sa'n omfang dat ien fan syn segment wurdt in rjochte line. It sil duorje twa punten dy't ûneinich ticht by elkoar. It ferskil tusken harren koördinaten (x of y) is infinitesimal. En dat hjit differinsjaaloperator en karakters oanwize dy (differinsjaaloperator fan y) en dx (de differinsjaaloperator fan x). It is fan belang om te begripen dat it differinsjaaloperator net de lêste wearde, en dit is de betsjutting en de wichtichste funksje.

En no moatte jo beskôgje de folgjende eleminten, dat wy sille moatte ferklearjen it differinsjaaloperator fergeliking konsept. It - derivative.

derivative

Wy allegearre moatte hawwe heard op skoalle en dit begryp. Se sizze dat de derivative - is it taryf fan de groei of in delgong fan 'e funksje. Lykwols, dizze definysje wurdt mear betiizjend. Lit ús besykje te ferklearjen de ôflate betingsten fan de differentials. Lit ús gean werom nei it infinitesimal ynterval funksje mei twa punten, dy't lizze op in minimale ôfstân fan inoar. Mar ek bûten dy ôfstân funksje is tiid te feroarjen nei wat wearde. En om te beskriuwen dy wiziging en komme mei in ôflate dat soe oars skreaun wurde as de ferhâlding fan de differentials: f (x) '= df / dx.

No is it nedich om te beskôgje de basiseigenskippen fan de derivative. Der binne mar trije:

1. Derivative som of it ferskil kin wurde fertsjintwurdige as de som of ferskil fan 'e derivaten: (a + b)' = in '+ b ", en (ab)' = A'-b '.
2. De twadde eigenskip wurdt ferbûn mei multiplication. Derivative works - is de som fan 'e wurken fan ien funksje nei in oare derivative: (a * b)' = a '* b + a * b'.
3. De dêrfan ôflaat fan it ferskil kin skreaun wurde as it neikommende fergeliking: (a / b) '= (a' * ba * b ') / b ^2.

Al dizze eigenskippen komme yn handich foar it finen fan oplossings te differinsjaaloperator fergelikingen fan de earste oarder.

Ek binne der parsjele derivaten. Oannommen, wy hawwe in funksje fan it z, dat hinget ôf fan 'e fariabelen x en y. Om berekkenjen de parsjele Afgeleide fan dizze funksje, bygelyks, in x, wy moatte nimme it fariabele y foar konstante en maklik te ûnderskieden.

yntegraal

In oare wichtige konsept - yntegraal. Yn feite is it it tsjinoerstelde fan derivative. Integrals binne ferskate soarten, mar de ienfâldichste oplossingen fan differinsjaaloperator fergelikingen, wy moatte de meast triviale indefinite integrals.

Dus, wat is it yntegraal? Litte we sizze wy hawwe wat relaasje f fan x. Wy nimme fan him it yntegraal en krije in funksje F (x) (it wurdt faak oantsjut as in primityf), dat is in ôflate fan de oarspronklike funksje. Dêrom F (x) '= f (x). Dat ek ymplisearret dat de yntegraal fan it derivative is gelyk oan de oarspronklike funksje.

By it oplossen differinsjaaloperator fergelikingen is it hiel wichtich om te ferstean de sin en funksje fan it yntegraal, sûnt hiel faak te nimme se te finen oplossings.

De fergelikingen binne ferskillende ôfhinklik fan harren natuer. Yn de folgjende paragraaf sille wy sjen by soarten earste oarder differinsjaaloperator fergelikingen, en dan leare hoe't oplosse se.

Klassen fan differinsjaaloperator fergelikingen

"Diffury" dield troch de folchoarder fan derivaten belutsen by harren. Sa is der in earste, twadde, tredde of mear oarder. Se kinne ek wurde ferdield yn ferskate klassen: gewoan en gedieltelike.

Yn dit artikel, wy sille beskôgje de gewoane differinsjaaloperator fergelikingen fan de earste oarder. Foarbylden en oplossings wy beprate yn de neikommende paragrafen. Wy beskôgje allinne de TAC omdat it de meast foarkommende soarten fergelikingen. Gewoane ferdield yn ûndersoarten: mei los fariabelen, homogeen en heterogene. Folgjende jo leare hoe't se ferskille fan elkoar, en leare hoe te oplosse se.

Dêrneist dizze fergelikingen kinne kombinearre wurde, sadat neidat wy krije in systeem fan differinsjaaloperator fergelikingen fan de earste oarder. Soksoarte systemen, wy ek sjogge by en leare hoe te lossen.

Wêrom wy deroer allinnich de earste oarder? Omdat it is nedich om te begjinne mei in ienfâldich en beskriuwe allegearre ferbûn mei differinsjaaloperator fergelikingen, yn in inkeld artikel is it ûnmooglik.

Fergelikingen mei los fariabelen

Dit is faaks de meast ienfâldige earste folchoarder differinsjaaloperator fergelikingen. Dat binne foarbylden dy't skreaun wurde kin as: y '= f (x) * f (y). Oplosse dizze fergeliking wy moatte de fertsjintwurdiging formule fan de derivative as de ferhâlding fan de differentials: y '= dy / dx. Mei dat wy krije de fergeliking: dy / dx = f (x) * f (y). No kinne wy keare ta de metoade fan oplossen standert foarbylden: skiede de fariabelen yn dielen, dat wol sizze Fast Forward alle fariabele y yn it diel dêr't sprake is dy, en ek om de fariabele x ... Wy krijen in fergeliking fan de foarm: dy / f (y) = f (x) dx, dat wurdt berikt troch te nimmen fan de integrals fan de beide dielen. Net ferjitte oer it konstante dat jo wolle sette nei yntegraasje.

De oplossing fan in "diffura" - is in funksje fan x by y (yn ús gefal), of as der in nûmerike betingst, it antwurd is in nûmer. Lit ús ûndersykje in konkreet foarbyld it hiele ferrin fan 'e beslút:

y '= 2y * sin (x)

Oermeitsje de fariabelen yn ferskillende rjochtingen:

dy / y = 2 * sin (x) dx

No nim de integrals. Alle fan harren te finen yn in spesjale tabel fan integrals. En wy krije:

LN (y) = -2 * cos (x) + C

As nedich, wy kinne uterje de "y" as in funksje fan "X". No kinne wy sizze dat ús differinsjaaloperator fergeliking wurdt oplost, as dizze net oanjûn betingst. Spesifisearre wurde betingst, bygelyks, y (n / 2) = e. Dan sille wy gewoan ferfange de wearde fan dy fariabelen yn it beslút en fine de wearde fan de konstante. Yn ús foarbyld, it is 1.

Homogeen earste bestelling differinsjaaloperator fergelikingen

No op nei de mear komplekse ûnderdielen. Homogeen earste bestelling differinsjaaloperator fergelikingen kinne wurde skreaun yn algemiene foarm as: y '= z (x, y). Dêrby moat opmurken wurde dat it rjocht funksje fan twa fariabelen is unifoarm, en it kin net wurde ûnderferdield yn twa ôfhinklik fan: Z x en z fan y. Kontrolearje oft de fergeliking is homogeen of net, is frijwat simpel: wy meitsje de wiksel x = k * x en y = k * y. No we snije allegearre k. As dizze brieven wurde sakke, dan de fergeliking homogeen en kin feilich fierder oan syn oplossing. Looking foarút, wy sizze: it prinsipe fan de oplossing fan dizze foarbylden is ek hiel simpel.

Wy moatte om de wiksel: y = t (x) * x, dêr't t - in funksje dy't ek ôfhinklik fan x. Dan kinne wy uterje de derivative: y '= t' (x) * x + t. Substituting alles dat yn ús oarspronklike fergeliking en ferienfâldiging fan it, wy hawwe it foarbyld fan de skieding fan fariabelen t as x. Los it en krijen e ôfhinklikheid fan 't (x). Wannear't wy krigen it, gewoan ferfange ús foarige wikselje y = t (x) * x. Dan wy krijen 'e ôfhinklikheid fan' y op x.

By my slagget, wy sille begripe in foarbyld: x * y '= yx * e y / x.

By it kontrolearen de ferfanging fan alle delgeande. Sa, de fergeliking is echt homogeen. No meitsje in oare wiksel, wy praat oer: y = t (x) * x en y '= t' (x) * x + t (x). Nei ferienfâldiging de folgjende fergeliking: t '(x) * x = -e t. Wy beslute om in stekproef mei skaat fariabelen en wy ^{krije: e -t = ln (C *} x). We krekt moatte ferfange t troch y / x (want as y = T * x, dan t = y / x), en wy krije it ^{antwurd: e -y / x = LN (} x * C).

Liniearre differinsjaaloperator fergeliking fan de earste oarder

It is tiid om te beskôgje oar breed ûnderwerp. Wy sille sjen heterogene earst-folchoarder differinsjaaloperator fergelikingen. Hoe kin se ferskille út de foarige twa? Litte we face is. Rjochtlinige earste folchoarder differinsjaaloperator fergelikingen yn de algemiene foarm fan de fergeliking kin skreaun wurde sa: y '+ g (x) * y = z (x). It moat wurde makke dúdlik dat z (x) en g (x) kin wêze konstante wearden.

Hjir is in foarbyld: y '- y * x = x ^2.

Der binne twa wizen om te lossen, en wy bestellen Lit ús ûndersiket beide. De earste - de wize fan fariaasje fan willekeurige konstanten.

Oplosse de fergeliking yn dizze wize, is it nedich om te definiearje it earste rjochts-kant kant nei nul, en oplosse de resultearjende fergeliking dy't nei de oerdracht fan de dielen wurdt:

y '= y * x;

dy / dx = y * x;

Dy / y = xdx;

ln | y | = x ^2/2 + C;

y = e ^{x2 / 2} * ^C y = C ₁ * e ^{x2 / 2.}

No is it nedich as ferfanging fan de konstante C ₁ op de funksje v (x), dat wy sille fine.

y = v * e ^{x2 / 2.}

Tekenje in ferfangende derivative:

^{y '= v' * e x2} / ² -x * v * e ^{x2 / 2.}

En substituting dy uteringen yn 'e oarspronklike fergeliking:

v '* e ^{x2 / 2} - x * v * e ^{x2 / 2} + x * v * e ^{x2 / 2} = x ^2.

Jo kinne sjen dat der yn 'e linker kant fan de twa termen wurde ferlege. As guon foarbyld dat net bart, dan jimme dien hawwe wat mis. Wy bliuwe to:

v '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

No wy oplosse de wenstige fergeliking wêryn jo wolle skiede de fariabelen:

dv / dx = x ^{2 /} E ^x2 / ^2;

dv = x ² * e ^{- x2 / 2} dx.

Om jo de yntegraal, wy moatte ta te passen de yntegraasje troch dielen hjir. Lykwols, dat is net it ûnderwerp fan dit artikel. As jo ynteressearre binne, kinne jo leare op harren eigen te fieren út sokke aksjes. It is net dreech, en mei genôch feardigens en soarch is gjin tiid tiidslinend.

Ferwizend nei de twadde metoade de oplossing fan 'e inhomogeneous fergelikingen: Bernoulli metoade. Wat oanpak is flugger en makliker - it is oan jo.

Dus, doe't oplossen fan dizze metoade, wy moatte om de wiksel: y = k * n. Hjir, k en n - guon funksjes ôfhinklik fan x. Den scil de derivative sil útsjen: y '= k' * n + k * n '. Ynfaller twa wiksels yn de fergeliking:

k '* n + k * n ' + x * k * n = x ^2.

Group up:

k '* n + k * ( n' + x * n) = x ^2.

No is it nedich om te definiearje nei nul, dat is tusken heakjes. No, as jo kombinearje de twa dêrút folgjende fergelikingen, wy krije in systeem fan earste oarder differinsjaaloperator fergelikingen wurde oplost:

n '+ x * n = 0;

k '* n = x ^2.

De earste gelikensens beslisse hoe't de wenstige fergeliking. Om dat dogge moatte skiede de fariabelen:

dn / dx = x * v;

dn / n = xdx.

Wy nimme de yntegraal en wy krije: ln (n) = x ^2/2. Dan, as wy drukken n:

n = e ^{x2 / 2.}

No ferfange de ûntstiene fergeliking yn de twadde fergeliking:

k '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

En transforming, wy krije deselde fergeliking as yn 'e earste metoade:

DK = x ^{2 /} E ^x2 / ^2.

Wy ek sille net yngean op fierdere aksje. Der wurdt sein dat der op it earste earst-oarder differinsjaaloperator fergelikingen oplossing feroarsaket flinke swierrichheden. Lykwols, in djipper immersion yn it ûnderwerp wurdt begjint te krijen better en better.

Wêr binne differinsjaaloperator fergelikingen?

Hiel aktyf differinsjaaloperator fergelikingen brûkt wurde yn de natuerkunde, lykas hast alle basis wetten binne skreaun yn differinsjaaloperator foarm, en dy formules, dat wy sjogge - in oplossing foar dizze fergelikingen. Yn skiekunde, se wurde brûkt foar deselde reden: de basis wetten wurde ôflaat troch harren. Yn biology, de differinsjaaloperator fergelikingen wurde brûkt om model it gedrach fan systemen, lykas Predator - proai. Se kinne ek brûkt wurde foar it meitsjen fan modellen fan 'e fuortplanting, bygelyks, koloanjes fan microorganisms.

As differinsjaaloperator fergelikingen helpe yn it libben?

It antwurd op dizze fraach is simpel: neat. As jo net in wittenskipper of yngenieur, is it ûnwierskynlik dat sy sille wêze nuttich. Lykwols net sear te witten wat de differinsjaaloperator fergeliking en it is oplost foar de algemiene ûntwikkeling. En dan de fraach fan in soan of dochter, "wat in differinsjaaloperator fergeliking?" net set jo yn in deade ein. No, as jo binne in wittenskipper of yngenieur, dan witte jo it belang fan dit ûnderwerp yn alle wittenskip. Mar foaral, dat no mei de fraach "hoe te lossen it differinsjaaloperator fergeliking fan 'e earste oarder?" jim sille altyd wêze kinne om te jaan in antwurd. Iens, it is altyd moai as jo beseffe dat wat minsken binne sels benaud te finen út.

De wichtichste problemen yn 'e stúdzje

De wichtichste probleem yn it begryp fan dit ûnderwerp is in minne gewoante fan yntegraasje en differinsjaasje funksjes. As jo binne noflik oannimme derivaten en integrals, it is nei alle gedachten mear wurdich om te learen, te learen ferskillende metoaden fan yntegraasje en differinsjaasje, en pas dan gean oan 'e stúdzje fan it materiaal dat is beskreaun yn it artikel.

Guon minsken binne ferrast te learen dat dx kin oerdroegen wurde, lykas earder (yn skoalle) stelden dat de fraksje dy / dx is ûndielbere. Dan moatst te lêzen op de literatuer oan 'e derivative en begripe, dat it is de hâlding fan ûneinich lytse hoeveelheden, dat kin wurde manipulearre yn it oplossen fergelikingen.

In protte minsken net fuortendaliks realisearje dat de oplossing fan differinsjaaloperator fergelikingen fan 'e earste oarder - dat is faak in funksje of neberuschiysya yntegraal, en dy waan jout harren in soad problemen.

Wat oars kin bestudearre wurde om better begripe?

It is it bêste om te begjinnen fierder ûnderdompeling yn 'e wrâld fan differinsjaaloperator calculus fan spesjalisearre tekstboeken, bygelyks, in wiskundige analyse foar studinten fan net-wiskundige spesjaliteiten. Jo kinne dan ferpleatse nei de mear spesjalisearre literatuer.

Der wurdt sein dat, neist it differinsjaaloperator, binne der noch yntegraal fergelikingen, dus je sille altyd wat te stribjen foar en wat om te studearjen.

konklúzje

Wy hoopje dat nei it lêzen fan dit artikel jo hawwe in idee fan wat de differinsjaaloperator fergelikingen en hoe te lossen harren korrekt.

Yn alle gefallen, wiskunde yn alle wei nuttich foar ús yn it libben. It ûntwikkelt logika en oandacht, sûnder dat elke man, lykas sûnder hannen.