Derivaten numbers: berekkenje metoaden en foarbylden

Miskien it begryp derivative is bekend bij ús allegearre sûnt hege skoalle. Meastentiids studinten hawwe muoite begripen fan dit is sûnder mis in hiel wichtich ding. It wurdt aktyf brûkt yn ferskate gebieten fan it libben fan minsken, en in protte engineering waarden basearre krekt op wiskundige berekkeningen krigen troch de derivative. Mar foar't jo fierder in analyze fan wat is in ôflate fan nûmers as se berekkenje en wêr't se sille komme fan pas, ferdjipje har in lyts bytsje yn de skiednis.

ferhaal

It begryp derivative, dat is de basis fan de wiskundige analyse, wie iepen (noch better te sizzen "útfûn", omdat it is, as sadanich, bestiet net yn de natuer) Isaakom Nyutonom, dy't wy allegearre kenne út de ûntdekking fan 'e wet fan de swiertekrêft. Dat wie dy't earst brûkt dit konsept yn de natuerkunde foar it binend karakter fan de snelheid en fersnelling fan lichems. En in protte wittenskippers noch priizgje Newton foar dizze prachtige útfining, om't yn feite er útfûn de basis fan differinsjaaloperator en yntegraal calculus, de feitlike basis fan 'e hiele fjild fan de wiskunde neamd "wiskundich analyze". Oft op it stuit de Nobelpriis, Newton alle gedachten soe krigen it in pear kear.

Net sûnder oare grutte koppen. Njonken Newton op de ûntwikkeling fan de derivative en yntegraal wurke sokke emininte sjenyen fan de wiskunde as Leonhard Euler, Lagrange en Louis Gotfrid Leybnits. It is tank oan harren wy hawwe de teory fan differinsjaaloperator calculus yn de foarm wêryn it bestiet oant hjoed de dei. Trouwens, dit is Leibniz ûntduts de geometryske betsjutting fan 'e derivative, dat wie neat mear as' e skeante fan de tangens y werom nei de grafyk fan de funksje.

Wat is in ôflate fan nûmers? Bit repeat wat barde yn 'e skoalle.

Wat is in ôflate?

Definiear dit konsept yn ferskate ferskillende wizen. De ienfâldichste útlis: derivaten - it is it taryf fan de feroaring funksje. Fertsjintwurdigje de grafyk fan eltse funksje y fan x. As it net rjocht, dat hat in pear bochten yn 'e grafyk, de tiidrekken fan groei en ôfnimme. As jo nimme gjin infinitesimal tuskenskoft fan 'e planning, dan sil in rjochte linestik. Sa, de ferhâlding fan de grutte fan in infinitesimal segmint fan 'e y oan' e grutte fan 'e x koördinearje, en sil in ôflate fan de funksje op in jûn punt. As wy beskôgje de funksje as gehiel, ynstee fan op in bepaald punt, wy krije in funksje fan it derivative, oftewol in bepaalde ôfhinklikens fan 'e X y.

Boppedat, los fan 'e fysike betsjutting fan it derivative as in funksje fan it taryf fan de feroaring, der is ek in geometryske gefoel. Derop, wy no beprate.

De geometryske betsjutting

Derivaten getallen sels binne in bepaald oantal dat is net in goede begryp net drage gjin betsjutting. It docht bliken dat de derivative wurdt net allinnich toant de groei rinte of ôfnimme de funksje, en de skeante fan de tangens y werom nei de grafyk fan de funksje op dat punt. Net hielendal dúdlike definysje. Lit ús ûndersykje it yn detail. Stel, wy ha in grafyk fan in funksje (te nimmen ynteresse kromme). It hat in ûneinige oantal punten, mar der binne gebieten dêr't mar ien punt hat in maksimum of minimum. Troch alle sa'n punt, kinne jo lûke in rjochte line, dat soe wêze heaks op de grafyk fan de funksje op dat punt. Dy line wurdt neamd in tangint. Oannommen, wy holden him oant de krusing mei de axis CHK. Sa krige tusken de tangint en it axis okse en hoeke wurdt bepaald troch de derivative. Mear spesifyk, de tangens y werom fan dizze hoeke sil wêze gelyk oan het.

Litte wy prate in bytsje oer de bysûndere gefallen en derivaten lit ús ûndersykje de nûmers.

bysûndere gefallen

As wy hawwe al neamd, derivaten fan nûmers - in ôflate wearde op in bepaald punt. Hjir, bygelyks, nimme de funksje y = x ^2. It derivative fan x - oantallen, mar yn it algemien - in funksje gelyk oan 2 * x. At wy moatte berekkenjen de derivative, bygelyks, op it punt x ₀ = 1, wy krije y '(1) = 2 * 1 = 2. It is hiel simpel. In nijsgjirrich gefal is it dêrfan ôflaat fan it kompleks getal. Om gean yn in detaillearre útlis fan wat in kompleks getal, sille wy net. Folstean it te sizzen dat dit oantal wêryn 't de saneamde tinkbyldige unit - it nûmer wêrfan plein is lyk oan -1. De berekkening fan dit derivative is allinnich mooglik ûnder de neikommende betingsten:

1) Der moat earst oarder parsjele derivaten fan de echte en de tinkbyldige dielen fan y en X.

2) de betingsten fan de Cauchy-Riemann ferbûn mei gelikensens foar in part beskreaun yn de earste alinea.

In oar nijsgjirrich gefal, hoewol net sa yngewikkeld as de foarige, is in ôflate fan in oantal negatyf. Yn feite, gjin negative getallen kinne wurde fertsjintwurdige as in posityf, fermannichfâldige mei -1. No, it derivative en de konstante funksje gelyk oan in konstante fermannichfâldige troch it dêrfan ôflaat fan de funksje.

It sil wêze nijsgjirrich om te learen oer de rol fan de derivaten yn harren deistich libben, en dat is no en beprate him.

application

Wierskynlik elk fan ús op syn minst ien kear yn in libben catch mysels tinken dat wiskunde is dat net wierskynlik te wêzen nuttich foar him. En sa'n yngewikkeld ding as de derivative nei alle gedachten gjin gebrûk. Yn feite is de wiskunde - fûneminteel wittenskip, en al syn fruchten ûntwikkelet benammen natuerkunde, skiekunde, astronomy en sels de ekonomy. Derivative markearre it begjin fan wiskundige analyse, dat joech ús de gelegenheid om te lûken konklúzjes út de grafiken fan funksjes, en wy hawwe leard om ynterpretearje de wetten fan de natuer en draaie se harren foardiel omdat derfan.

konklúzje

Fansels, net elkenien kin brûkber wêze foar it derivative yn it echte libben. Mar math ûntwikkelt logika dat sil wis nedich. Net om 'e nocht, want de wiskunde hjit de keninginne fan de wittenskip: it bestean fan in basis begryp fan oare fjilden fan kennis.