Differinsjaaloperator calculus fan funksjes fan ien en ferskate fariabelen

Differinsjaaloperator calculus is in tûke fan wiskundige analyse, dat giet yn op de derivative, differentials en harren brûken yn de stúdzje fan de funksjes.

It ferhaal fan

Differinsjaaloperator calculus ûntstie as in selsstannige disipline yn de twadde helte fan de 17e ieu, mei troch it wurk fan Newton en Leibniz, dy't formulearre de basis bepalings yn de berekkening fan differentials en zag de ferbining tusken yntegraasje en differinsjaasje. Sûnt dissipline hy ûntwikkele tegearre mei de berekkening fan integrals, dêrtroch constituting de basis fan de wiskundige analyse. It uterlik fan dizze calculi iepene in nij modern perioade yn de wiskundige wrâld en aktivearre it opkomst fan nije dissiplines yn de wittenskip. Ek wreide de mooglikheid fan it tapassen fan de wiskunde yn de natuerwittenskippen en technyk.

basic konsepten

Differinsjaaloperator calculus is basearre op 'e fûnemintele begripen fan de wiskunde. Se binne: in echte oantal, kontinuïteit en limyt fan funksje. Nei in tiid, se hawwe nommen in moderne útstrieling, mei tank oan it yntegraal en differinsjaaloperator kalkulus.

It proses fan it ta stân

Foarming fan de differinsjaaloperator calculus yn 'e foarm fan in applikaasje, en dan de wittenskiplike metoade barde foar de opkomst fan filosofyske teory, dat is makke troch Nikolaj Kuzansky. Syn wurk wurdt beskôge as in evolúsjonêre ûntwikkeling fan de âlde wittenskip fan it oardiel. Nettsjinsteande it feit dat de filosoof sels wie net in wiskundige, syn bydrage oan de ûntwikkeling fan de wiskundige wittenskippen is twifele. Nikolaus, ien fan de earste út de ôfwaging fan arithmetic as de meast accurate wittenskip, math setten de tiid yn fraach.

Yn âlde wiskundigen universele kritearium wie in ienheid, wylst de filosoof foarsteld as in nije maatregel ûneinichheid werom it eksakte oantal. Yn ferbân mei dizze inverted fertsjintwurdiging fan krektens yn wiskundige wittenskip. Wittenskiplike kennis, yn syn sicht, is ûnderferdield yn rasjoneel en yntelligint. It twadde is krekter, neffens de wittenskipper, sûnt de eardere jout allinnich approximate resultaten.

idee

De basis idee en it konsept fan differinsjaaloperator calculus ferbûn mei de funksje yn in lytse buert fan beskate punten. Dêrfoar is it nedich te meitsjen fan in wiskundige apparaat om funksjonearje stúdzjes waans gedrach yn in lytse buert fan punten ynstallearre ticht by it gedrach fan in liniearre funksje of in veelterm. Op grûn fan dizze definysje fan derivative en differinsjaaloperator.

It opkommen fan it begryp fan 'e derivative waard feroarsake troch in grut oantal problemen fan natuerwittenskippen en wiskunde, wat late ta it fêststellen fan limyt wearden fan itselde type.

Ien fan de wichtichste taken dy't jûn as foarbyld, begjinnend mei de âldste skoalle klassen, is fêst te stellen de snelheid fan de beweging fan in punt yn in rjochte line en de oanlis fan 'e tangint line nei dizze kromme. De differinsjaaloperator ferbûn oan dit, om't it mooglik om likernôch de funksje yn in lytse wyk fan 'e punt fan in liniearre funksje.

Yn ferliking mei it begryp derivative fan in funksje fan in echte fariabele, de definysje fan differentials gewoan kombinaasjes oan de funksje fan algemiene aard, yn it bysûnder it byld fan in Euclidean romte oan in oar.

derivative

Lit it punt beweecht yn 'e rjochting fan' e y-assen, hwent de tiid wy nimme x, dat wurdt metten fan it begjin fan in momint. Beskriuwe sa'n beweging is mooglik troch de funksje y = f (x), dat wurdt yn ferbân brocht mei eltse kear punt x koördinearje displaceable punt. Dizze funksje oprop yn de meganika te nimmen wet fan 'e beweging. It wichtichste skaaimerk fan de moasje, benammen ongelijk, is de instantaneous snelheid. As de punt wurdt ferpleatst oan de y-assen neffens de wet fan de meganika, it samar tiid punt It kriget koördinearje x f (x). Yn de tiid punt x + Δh, dêr't Δh stiet foar it increment fan tiid, dan sil kordinaty f (x + Δh). Sa foarme formule Δy = f (x + Δh) - f (x), dy't hjit in increment funksje. It is in punt fan it paad traversed yn de tiid fan x ta x + Δh.

Yn ferbân mei it foarkommen fan de snelheid op tiid derivative wurdt tatsjinne. It derivative fan in funksje op in fêste punt hjit de limyt (útgeande fan dat bestiet). It kin ferwiisd nei beskate tekens:

f '(x), y', ý, df / dx, dy / dx, Df (x).

It proses fan berekkenjen it derivative fan oprop differinsjaasje.

Differinsjaaloperator calculus fan funksjes fan meardere fariabelen

Dizze metoade wurdt tapast doe't kalkulearjende funksje stúdzje, ferskate fariabelen. As der twa fariabelen x en y, de parsjele derivative mei respekt om te x op it punt A hjit it Afgeleide fan dizze funksje yn x mei in fêste y.

Kinne wurde oanjûn troch de folgjende symbols:

f '(x) (x, y), u' (x), ∂u / ∂x en ∂f (x, y) '/ ∂x.

required feardichheden

Om súkses leare en kinne oplosse diffury nedich feardichheden yn yntegraasje en differinsjaasje. Om it makliker te begripen de differinsjaaloperator fergelikingen, moatte wurde begrepen ûnderwerp derivative en ûnbepaalde yntegraal. Ek net sear te learen om te sykjen foar it dêrfan ôflaat fan de ymplisite funksje. Dat komt troch it feit dat yn it proses fan learen sil faak brûke integrals en differinsjaasje.

Soarten differinsjaaloperator fergelikingen

Hast alle kontrôle wurk ferbûn mei de earste-oarder differinsjaaloperator fergelikingen, der binne 3 soarten fergelikingen: homogeen, mei los fariabelen, lineêre inhomogeneous.

Der binne ek mear seldsume soarten fergelikingen mei totaal differentials, Bernoulli syn fergeliking, en oaren.

fundamentals oplossings

Om te begjinnen, wy moatte betinke is algebraic fergeliking fan in skoalle fansels. Se befetsje de fariabelen en getallen. Om te lossen de konvinsjonele fergeliking moatte fine folop nûmers dy't sêdzje in spesifike betingst. Typysk, dy fergelikingen hawwe ien woartel, en foar falidaasje moatte allinne ferfangen dizze wearde yn plak ûnbekend.

De differinsjaaloperator fergeliking fergelykber is mei dit. Yn it algemien, in fergeliking fan de earste oarder bestiet út:

• Independent fariabele.
• In dêrfan ôflaat fan de earste funksje.
• Funksje of ôfhinklike fariabele.

Yn guon gefallen, dêr kin gjinien ûnbekend, x of y, mar it is net sa wichtich as it is nedich te hawwen de earste derivative, mei gjin hegere oardering derivaten oan de oplossing en de differinsjaaloperator calculus wienen wier.

Oplosse it differinsjaaloperator fergeliking - dat betsjut te finen de dea fan alle funksjes dy't geskikt jûn útdrukking. Sokke sets fan funksjes wurdt faak neamd yn de algemiene oplossing kontrôle.

yntegraal calculus

Yntegraal calculus is ien fan de seksjes fan wiskundige analyse, dat giet yn op de konsept fan yntegraal, eigenskippen en metoades fan syn berekkening.

Faak wurdt de berekkening fan it yntegrale ûntstiet as it berekkenjen fan de gebiet fan in curvilinear foarm. Troch dit betsjut in limyt gebiet, rjochting dêr't in foarbeskaaide gebiet fan 'e skreau mearhoeke foarm mei in stadige groei yn' e hân, en de gegevens kant kin makke wurde minder as alle earder spesifisearre willekeurige lytse wearde.

De wichtichste idee yn de berekkening fan it gebiet fan in geometryske foarm is berekkenjen it gebiet fan in rjochthoeke, dan is der bewiis dat syn gebiet is gelyk oan it produkt fan 'e lingte fan' e breedte. As it giet om mjitkunde, dan alle konstruksjes wurde makke mei help fan in passer en liniaal, en dan de ferhâlding fan lingte oan breedte is in rasjonele wearde. Wannear't berekkenjen it gebiet fan in rjocht trijehoek kin bepaald wurde dat as jo sette in folgjende trijehoeke, in rjochthoeke wurdt foarme. Yn it gebiet fan 'e parallellogram wurde berekkene yn in fergelykbere mar wat mear komplisearre metoade, binnen in rjochthoeke en in trijehoeke. Yn it gebiet fan in Polygoon wurdt beskôge troch trijehoeken opnaam yn it.

By it fêststellen fan 'e genede fan willekeurige, dizze metoade net passe de bocht. As wy brekke yn yndividuele pleinen, dan sil bliuwe unfilled plakken. Yn dit gefal, besykje te brûken twa lagen, mei rjochthoeken boppe en ûnder, as gefolch fan dy ûnder oare de grafyk fan de funksje en binne eksklusyf. Wichtich dêrby is in manier om te brekken dizze rjochthoeken. Ek, as wy nimme de stân by rêst mear en mear fermindere, it gebiet fan de boppe-of ûnderkant moat converge op in bepaalde wearde.

It moat weromkomme oan in metoade foar it skiden yn rjochthoeken. Der binne twa populêre metoaden.

Riemann waard offisjeel fêstlein definysje fan it yntegrale, makke troch Leibniz en Newton, lykas it gebiet fan subgraph. Yn dit gefal, we sjoen as in figuer besteande út in beskaat tal fertikale rjochthoeken krigen troch dielen fan it ynterval. Wannear't brekken fan in sakjen is der in grins oan dêr't it redusearre gebiet fan sa'n figuer, dizze grins hjit de Riemann yntegraal fan in funksje by in spesifisearre ynterval.

In twadde metoade is ta oanlis fan de Lebesgue yntegraal, besteande út yn it feit dat op it plak fan de skieding oanwiisd gebiet op in part fan 'e integrand en it gearstallen dan it yntegraal som fan de wearden krigen yn dizze dielen, op ynterfalbasis ferdielde syn oanbod fan wearden, en dan gearfette mei de byhearrende maatregels ynverze bylden fan dizze integrals.

moderne helpmiddels

Ien fan de wichtichste foardielen foar de stúdzje fan differinsjaaloperator en yntegraal calculus Fikhtengol'ts skreau - "fan 'e differinsjaaloperator en yntegraal kalkulus." Syn leerboek is in fûneminteel helpmiddel foar de stúdzje fan de wiskundige analyze, dy't withstood protte edysjes en oersettings yn oare talen. Makke foar studinten en foar lange tiid brûkt wurdt yn in ferskaat fan ûnderwiisynstellings as ien fan de wichtichste foardielen fan 'e stúdzje. It jout teoretyske ynformaasje en praktyske feardichheden. Earst publisearre yn 1948.

Algoritme ûndersyk funksje

Om ferkenne de metoaden fan differinsjaaloperator calculus funksje, jim moatte folgjen wurdt al jûn algoritme:

1. Fine it domein fan 'e funksje.
2. Find de woartels fan 'e opjûne fergeliking.
3. Berekkenje de ekstremen. Om do dit, wy berekkene de derivative en it punt dêr't it is gelyk oan nul.
4. Wy ferfange de wearde krigen yn fgl.

Soorten differinsjaaloperator fergelikingen

Kontrôle fan de earste oarder (oars, differinsjaaloperator calculus fan ien fariabele) en harren soarten:

• Mei los fariabelen fergeliking: f (y) dy = g (x) dx.
• De ienfâldichste fergeliking of differinsjaaloperator calculus funksje fan ien fariabele, hawwende de formule: y '= f (x).
• De rjochtlinige earste-folchoarder nonuniform kontrôle: y '+ P (x) y = Q (x).
• Bernoulli differinsjaaloperator fergeliking: y '+ P (x) y = Q (x) y a.
• Fergeliking totaal differentials mei: P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

It differinsjaaloperator fergelikingen fan twadde oarder en harren soarten:

• Homogeen lineêr twade oarder differinsjaaloperator fergeliking mei konstante ^{coefficients: y n + py '+ qy} = 0 p, q heart R.
• Inhomogeneous lineêr twade oarder differinsjaaloperator fergeliking mei konstante coefficients ^{wearde: y n + py '+ qy} = f (x).
• Homogeen lineêr differinsjaaloperator ^{fergeliking: y n + p (x)} y '+ q (x) y = 0, en inhomogeneous twade oarder ^{fergeliking: y n + p (x)} y' + Q (x) y = f (x).

Differinsjaaloperator fergelikingen of hegere rjochtlinen te posearjen en harren soarten:

• De differinsjaaloperator fergeliking, wêrtroch reduksje fan de ^{folchoarder: F (x, y (k} ), y (k + ^{1), .., y (n)} = 0.
• In rjochtlinige fergeliking fan hegere oardering ^{_{homogeen: y (n) + f (}} n- ₁₎ y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = 0, en ^{_{inhomogeneous: y (n) + f (}} n _-1) y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = f (x).

Stadia fan oplossen fan it probleem mei de differinsjaaloperator fergeliking

Mei de help fan remote control wurde oplost net allinnich wiskunde of fysike problemen, mar ek de ferskate problemen fan biology, ekonomy, sosjology en oaren. Nettsjinsteande it grut ferskaat oan ûnderwerpen, moatte folgje ien logika sequence foar it oplossen fan dizze problemen:

1. Opstellen kontrôle. Ien fan de dreechste poadia, dat ferget maximum krektens, omdat eltse flater sil liede ta hielendal ferkeard resultaten. It is needsaaklik om te rekken alle faktoaren dy't it proses en bepale oarspronklike betingsten. It moat ek wurde op basis fan feiten en logyske konklúzjes.
2. Foar it oplossen fergelikingen. Dit proses is makliker om it earste punt, om't it fereasket allinne strange útfiering fan wiskundige berekkenings.
3. Analyse en evaluaasje fan de resultaten. Ôflaat oplossing moat wurde beoardiele foar de ynstallaasje fan it praktyske en teoretyske wearde fan it resultaat.

In foarbyld fan it gebrûk fan differinsjaaloperator fergelikingen yn medisinen

Mei help fan de ôfstânsbetsjinning kontrôle op it mêd fan de genêskunde wurdt fûn yn de bou fan epidemiological wiskundich model. Wy moatte net ferjitte dat dizze fergelikingen wurde ek fûn yn de biology en skiekunde, dy't ticht by de medisinen, om't it spilet in wichtige rol yn de stúdzje fan ferskate biologyske populaasjes en gemyske prosessen yn it minsklik lichem.

Yn dit foarbyld, de epidemy sprieding fan de ynfeksje kin wurde behannele yn in isolearre mienskip. De ynwenners binne ferdield yn trije soarten:

• Ynfektearre, it oantal x (t), dy't bestie út yndividuen, besmetlike dragers, elk fan dat oansteklike (incubation perioade is koart).
• De twadde soart omfiemet gefoelich yndividuen y (t), kin wurde besmetten troch kontakt mei besmette.
• It tredde type omfiemet stege yndividuen z (t), dy't ymmúnsteurnissen of ferlern fanwege sykte.

Oantal partikulieren allegeduerigen, keeping berte, natuerlike stjergefallen en migraasje wurdt net sjoen. By de kearn sil twa hyptezen.

Percent sykte op guon tiid punt is gelyk oan x (t) y (t) (basearre ferûnderstelling op de teory dat it tal gefallen yn ferhâlding mei it oantal krusings tusken pasjinten en reagearjen leden, dy't yn earste ûnderlinge oanpassing is proporsjoneel oan x (t) y (t)), en dêrom it oantal gefallen nimt ta, en it oantal gefoelich nimt ôf op in taryf dat wurdt berekkene troch de formule bijl (t) y (t) (a> 0).

Oantal net-antwurdapparaten bisten dy't stoar of ferwurven immuniteit, tanommen op in taryf dat is evenredich mei it tal gefallen, bx (t) (b> 0).

Dêrtroch kinne jo opsette in systeem fan fergelikingen mei alle trije yndikatoaren op grûn fan syn konklúzjes.

Foarbyld gebrûk ekonomy

Differinsjaaloperator calculus wurdt faak brûkt yn ekonomyske analyze. De wichtichste taak yn de ekonomyske analyse wurdt beskôge as de stúdzje fan 'e wearden fan' e ekonomy, dy't wol beskreaun yn 'e foarm fan' e funksje. It wurdt brûkt by it oplossen fan problemen lykas feroarings yn ynkomstebelesting tanimt fuort nei, entry fergoedings, feroarings yn ynkomsten doe't feroarjen fan de wearde fan it produkt, yn hokker ferhâlding kin wurde ferfongen troch mei pensjoen meiwurkers mei nije apparatuer. Te lossen sokke problemen, it is nedich om de bou fan in kommunikaasje funksje fan it binnenkommende fariabelen, dy't, nei't se bestudearre troch differinsjaaloperator kalkulus.

it is faak nedich te finen de meast optimale prestaasjes yn de ekonomyske sfear: maksimale produktiviteit, it heechste ynkommen, minste kosten ensafuorthinne. Elts sa'n komponint is in funksje fan ien of mear arguminten. Bygelyks, de produksje kin beskôge wurde as in funksje fan wurk en kapitaal. Yn dizze ferbining, it finen fan in passende wearde kin werombrocht wurde nei it finen fan de maksimale of minimum fan in funksje fan ien of mear fariabelen.

Sokke problemen meitsje in klasse fan extremal problemen op it ekonomyske mêd, dêr't jim nedich differinsjaaloperator kalkulus. As de ekonomyske indicator is nedich om minimalisearje of maksimalisearje as in funksje fan oare parameters, de increment ratio maksimale punt funksje oan de arguminten wil hinne nei nul as it increment fan it argumint benaderjen liedt ta nul. Oars, doe't sa'n hâlding benaderjen liedt ta in bepaalde posityf of negatyf wearde, de oantsjutte punt is net geskikt, omdat troch tanimmende of sakket it argumint kin feroare wurde ôfhinklike wearde yn de winske rjochting. Yn differinsjaaloperator calculus terminology, dat soe betsjutte dat de fereaske Betingsten Foar maksimale funksje is in nul wearde fan syn derivative.

De ekonomy is net ûngewoan probleem fan it finen fan de extremum fan in funksje fan ferskate fariabelen, omdat ekonomyske yndikatoaren binne opboud út in soad faktoaren. Sokke saken wurde goed begrepen yn de teory fan de funksjes fan meardere fariabelen, de wize fan berekkenjen de differinsjaaloperator. Sokke problemen binne net allinne maksimalisearre en minimalisearre funksje, mar ek beheinings. Dy fragen hawwe te krijen mei wiskundich programmearring, en se wurde oplost mei help fan spesjaal ûntwikkele metoaden binne ek basearre op dizze tûke fan wittenskip.

Under de metoaden fan differinsjaaloperator calculus brûkt yn 'e ekonomy, in wichtich diel is de ultime test. Yn de ekonomyske sfear, de term ferwiist nei in set fan metoaden fan ûndersyk fan fariabele prestaasjes en results as jo feroarje de lûdssterkte fan jo skepping, konsumpsje, basearre op in analyze fan harren limyt wearden. Beheining yndikaasje beskôge derivative of de parsjele derivaten mei ferskate fariabelen.

Differinsjaaloperator calculus fan ferskate fariabelen - in wichtich ûnderwerp fan wiskundige analyse. Foar in detaillearre stúdzje, kinne jo gebrûk meitsje fan in ferskaat fan ûnderwiis helpmiddels foar heger ûnderwiis ynstellings. Ien fan 'e meast ferneamde makke Fikhtengol'ts - "fan' e differinsjaaloperator en yntegraal kalkulus." Hoefolle fan de namme foar de oplossing fan differinsjaaloperator fergelikingen fan grut belang om de feardichheden om te wurkjen mei integrals. Wannear't der in differinsjaaloperator calculus fan funksjes fan ien fariabele, it beslút wurdt makliker. Hoewol, it moat sein wurde, dan folget deselde basisregels. Yn de praktyk, it ûndersyk nei de funksje fan 'e differinsjaaloperator calculus, krekt folgje de al besteande algoritme, dat wurdt jûn yn hege skoalle, en mar in bytsje yngewikkeld mei de ynfiering fan nije fariabelen.