Maclaurin en ûntleden fan guon funksjes

De stúdzje avansearre wiskunde moatte wêze bewust dat de som fan in macht rige yn it skoft fan konverginsje fan in oantal ús, is in trochgeande en ûnbeheinde oantal kearen in differinsearre funksje. De fraach ûntstiet: is it mooglik om te pleitsjen dat jûn in willekeurige funksje f (x) - is de som fan in macht rige? Dat is, ûnder hokker betingsten de f-tions f (x) kin wurde fertsjintwurdige troch in macht rige? It belang fan dizze dei is dat it mooglik is om te ferfangen ûngefear £ Theological f (x) is de som fan de earste pear termen fan in macht rige, dat is in veelterm. Sa'n ferfangende funksje is hiel simpel útdrukking - veelterm - is handige en yn it oplossen bepaalde problemen yn wiskundige analyse, nammentlik yn it oplossen integrals doe't kalkulearjende differinsjaaloperator fergelikingen , etc ...

It is bewiisd, dat foar guon f-ii f (x), wêrby't de derivaten fan 'e (n + 1) Âldtsjerk oarder kin wurde berekkene, ynklusyf de nijste yn' e omkriten fan (α - R; x ₀ + R) fan in punt x = α earlike formule is:

Dit formule is neamd nei de ferneamde wittenskipper Brooke Taylor. In oantal dêrfan is ôflaat fan 'e foarige iene, hjit in Maclaurin rige:

In regel dat makket it mooglik om te produsearjen útwreiding yn in Maclaurin rige:

1. Bepale derivaten fan earste, twadde, tredde, ... oarder.
2. Berekkenje wat binne derivaten by x = 0.
3. Record Maclaurin rige foar dizze funksje, en dan te bepalen it ynterval fan konverginsje.
4. Bepale tuskenskoft (-R; R), dêr't it wat immen noch part fan formule Maclaurin

R _n (x) -> 0 foar n -> ûneinichheid. As men bestiet, dan function f (x) moat wêze lyk oan de som fan de Maclaurin rige.

Betink no de Maclaurin rige foar de yndividuele funksjes.

1. Sa, de earste te wêzen f (x) = e ^x. Fansels, dat harren skaaimerken sa f-Ia hat ôflaat in ferskaat oan oarders, en f ^{(k) (x)} = e ^x, dêr't k is gelyk oan al it natuerlike nûmers. Substitute x = 0. We krije f ^{(k) (0)} = e ⁰ = 1, k = 1,2 ... Op grûn fan it foargeande, in oantal e ^x It sil wêze as folget:

2. Maclaurin rige foar de funksje f (x) = sûnde x. Fuortendaliks oantsjutte dat f-tions foar alle ûnbekende derivaten sille hawwe, neist f ^'(x) = cos x = sin (x + n / 2), ^{f' '(x)} = -sin x = sin (x + 2 * n / ²⁾ ..., f ^{(k) (x)} = sin (x + n * k / 2), dêr't k is gelyk oan alle positive lizzende hiele getal. Dat is, wêrtroch ienfâldige berekkeningen, kinne wy konkludearje dat de rige foar f (x) = sûnde x sil wêze lyk as dizze:

3. No litte wy beskôgje iju f-f (x) = cos x. It is ûnbekend foar alle derivaten fan willekeurige folchoarder, en ^{| f (k) (x)} | = | Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ... Opnij, it hawwen makke inkele berekkenings, wy fine dat de rige foar f (x) = cos x sil der sa útsjen:

Sa, wy hawwe fermelden de meast wichtige funksjes dy't kin útwreide wurde yn in Maclaurin rige, mar sy folje de Taylor rige foar guon funksjes. No sille wy list se ek. It moat ek sein wurde dat Taylor searjes en Maclaurin rige foarmje in wichtich part fan 'e workshop rige fan besluten yn hegere wiskunde. Dus, Taylor rige.

1. It earste is in rige fan f-ii f (x) = ln (1 + x). Krekt as yn 'e foarige foarbylden, foar dizze we f (x) = ln (1 + x) kin dûbelteard in nûmer, mei help fan de algemiene foarm fan Maclaurin rige. mar foar dizze funksje Maclaurin kinne krigen wurde folle makliker. Yntegraasje fan in geometryske rige, wy krije in oantal foar f (x) = ln (1 + x) fan it sample:

2. En de twadde, dat sil wêze finale yn dit artikel, sil in rige foar f (x) = arctg x. Foar x dy't ta it ynterfal [-1; 1] is jildich ûntleden:

Dat is alles. Yn dit artikel haw ik ferkende de meast brûkte Taylor rige en Maclaurin rige yn hegere wiskunde, benammen yn 'e ekonomyske en technyske hegeskoallen.