Differentials - wat is dit? Hoe fine de differinsjaaloperator fan 'e funksje?

Tegearre mei derivaten harren funksje differentials - it guon fan 'e fûnemintele konsepten fan' e differinsjaaloperator calculus, it wichtichste diel fan de wiskundige analyse. As ûnskiedber ferbûn, beide inkele ieuwen in soad brûkt wurdt by it oplossen hast alle problemen dy't ûntstie yn de rin fan wittenskiplike en technyske aktiviteit.

It opkommen fan it begryp differinsjaaloperator

Foar it earst makke dúdlik dat sa'n differinsjaaloperator, ien fan 'e oprjochters (tegearre mei Isaakom Nyutonom) differinsjaaloperator calculus ferneamde Dútske wiskundige Gotfrid vilgelm Leybnits. Foar't dat Mathematicians 17e ieu. brûkt hiel ûndúdlik en vague idee fan guon infinitesimal "ûnskieden" fan in bekende funksje, foar in hiel lyts konstante wearde mar net gelyk oan nul, ûnder hokker wearden de funksje kin net gewoan. Dêrom wie it mar ien stap nei de ynfiering fan de begripen fan infinitesimal mei stappen fan funksje arguminten en harren respektivelike mei stappen fan de funksjes dy't kin útdrukt wurde yn termen fan derivaten fan 'e lêste. En dizze stap waard nommen hast tagelyk de boppesteande twa grutte wittenskippers.

Op grûn fan de needsaak om te pakken urgent praktyske meganika problemen dy't giet it krekt wittenskip hurd ûntwikkeljen yndustry en technyk, Newton en Leibniz makke de mienskiplike manieren fine de funksjes fan de snelheid fan de feroaring (benammen oangeande de meganyske snelheid fan it lichem fan 'e bekende trajekt), wat late ta de ynfiering fan sokke konsepten, as de derivative funksje en de differinsjaaloperator, en ek fûn de algoritme ynverze probleem oplossings lykas bekend per se (fariabele) faasjes traversed te finen it paad dat hat laat ta it konsept fan yntegraal Ala.

Yn de wurken fan Leibniz en Newton syn idee earst die bliken dat de differentials - is proporsjoneel oan de increment fan 'e fûnemintele arguminten Δh stappen Δu funksjes dy't kin wurde mei súkses tapast te berekkenjen de wearde fan' e lêste. Mei oare wurden, se hawwe ûntdutsen dat in increment funksje kin op elts punt (binnen it domein fan de definysje) wurdt útdrukt troch har derivative sawol Δu = y '(x) Δh + αΔh dêr't α Δh - remainder, fersoargje oan nul as Δh → 0, folle hurder as de eigentlike Δh.

Neffens de grûnlizzers fan de wiskundige analyse, it differentials - dat is no krekt it earste termyn yn stappen fan alle funksjes. Ek sûnder hawwen fan in dúdlik omskreaun limyt konsept sekwinsjes binne begrepen yntuityf dat de differinsjaaloperator wearde fan 'e derivative benaderjen liedt ta funksjonearje doe't Δh → 0 - Δu / Δh → y' (x).

Oars as Newton, dy't yn it foarste plak in natuerkundige en wiskundige apparaat beskôge as in helptiidwurd ynstrumint foar de stúdzje fan de fysike problemen, Leibniz betelle mear oandacht oan dit toolkit, ynklusyf in systeem fan byldzjende en begripen symboalen wiskundige wearden. Dat wie dy't útstelde de standert notaasje fan differentials funksje dy = y '(x) dx, dx, en it dêrfan ôflaat fan it argumint funksje as harren relaasje y' (x) = dy / dx.

De moderne definysje

Wat is de differinsjaaloperator yn termen fan moderne wiskunde? It is nau besibbe oan it begryp fan in fariabele increment. As de fariabele y kostet in earste wearde fan y y = _1, dan y = y _2, it ferskil y ₂ ─ y ₁ hjit it increment wearde y. De increment kin wêze posityf. negative en nul. It wurd "increment" wurdt oantsjut Δ, Δu opname (lês 'delta y') denotes de wearde fan 'e increment y. sa Δu = y ₂ ─ y _1.

As de wearde Δu willekeurige funksje y = f (x) kin fertsjintwurdige as Δu = A Δh + α, dêr't A is gjin ôfhinklikens fan Δh, t. E. A = const foar de opjûne x, en de term α doe't Δh → 0 benaderjen liedt ta it is noch hurder as de eigentlike Δh, dan de earste ( "master") in term evenredich Δh, en is foar y = f (x) differinsjaaloperator, denoted dy of df (x) (lêzen "y de", "de EFF út X"). Dêrom differentials - in "haad" lineair mei respekt foar de ûnderdielen fan stappen Δh funksjes.

meganyske útlis

Let s = f (t) - de ôfstân yn in rjochte line beweecht materiaal punt út de oarspronklike posysje (t - reizen tiid). Increment Δs - is de wei punt yn in tiid ynterfal Δt, en de differinsjaaloperator ds = f '(t) Δt - dit paad, dat punt soe hâlden wurde foar deselde tiid Δt, as it beholden de snelheid f' (t), berikber op tiid t . As in infinitesimal Δt ds tinkbyldige paad ôfwykt fan 'e feitlike Δs infinitesimally hawwen fan in hegere oarder mei respekt nei Δt. As de snelheid op it stuit t is net gelyk oan nul, de likernôch wearde ds jout lytse ynslach punt.

geometryske ynterpretaasje

Lit de line L is de grafyk fan y = f (x). Dan Δ x = MQ, Δu = QM '(sjoch. Figure hjirûnder). Tangent MN brekt Δu knipt yn twa dielen, QN en NM '. Earste en Δh is evenredich QN = MQ ± tg (hoek QMN) = Δh f '(x), t. E QN is dy differinsjaaloperator.

It twadde diel fan it ferskil Δu NM'daet ─ dy, doe't Δh → 0 NM lingte 'nimt ôf noch flugger as it increment fan it argumint, oftewol it hat de folchoarder fan smallness heger as Δh. Yn dit gefal, as f '(x) ≠ 0 (non-parallel tangint CHK) segminten QM'i QN ekwivalint; yn oare wurden NM 'nimt ôf hurd (oarder fan smallness fan syn heger) as de totale increment Δu = QM'. Dat blykt in figuer (approaching segment M'k M NM'sostavlyaet allegear lytsere persintaazje QM 'segment).

Dus, graphically differinsjaaloperator willekeurige funksje is gelyk oan de increment fan de ordinate fan it tangint.

Derivative en differinsjaaloperator

In faktor yn de earste termyn fan mieningsutering increment funksje is gelyk oan de wearde fan syn derivative f '(x). Sa, de folgjende relaasje - dy = f '(x) Δh of df (x) = f' (x) Δh.

It is bekend dat de increment fan de ûnôfhinklike argumint is gelyk oan syn differinsjaaloperator Δh = dx. Accordingly, kinne wy skriuwe: f '(x) dx = dy.

It finen (soms sein te wêzen de "beslút") differentials wurdt útfierd troch deselde regels as foar de derivaten. In list fan harren wurdt jûn hjirûnder.

Wat is mear universele: de increment fan it argumint of har differinsjaaloperator

Hjir is it nedich om wat clarifications. Fertsjintwurdiging wearde f '(x) differinsjaaloperator Δh mooglik doe't deroer x as argumint. Mar de funksje kin in kompleks, dêr't x kin in funksje fan it argumint t. Dan de fertsjintwurdiging fan 'e differinsjaaloperator útdrukking fan' f '(x) Δh, as in regel, it is ûnmooglik; útsein yn it gefal fan lineêre ôfhinklikens x = at + b.

As oan 'e formule f' (x) dx = dy, dan yn it gefal fan ûnôfhinklike argumint x (doe dx = Δh) yn it gefal fan 'e parametric ôfhinklikens fan x t, it is differinsjaaloperator.

Bygelyks, de útdrukking 2 x Δh is foar y = x ² syn differinsjaaloperator as x is in argumint. We no x = t ² en oannimme t argumint. Dan y = x ² = t ^4.

Dit wurdt folge troch (t + Δt) ² = t ² + 2tΔt + Δt ^2. Dêrfandinne Δh = 2tΔt + Δt ^2. Fandêr: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + Δt ^2).

Dizze útdrukking is net evenredich mei Δt, en dêrom is no 2xΔh is net differinsjaaloperator. It kin fûn wurde út de fergeliking y = x ² = t ^4. It is gelyk dy = 4t ³ Δt.

As wy nimme de útdrukking 2xdx, it is de differinsjaaloperator y = x ² foar eltse argumint t. Yndie, as x = t ² krijen dx = 2tΔt.

Sa 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ .DELTA.t, t. E. De útdrukking differentials opnommen troch twa ferskillende fariabelen gearfalle.

It ferfangen mei stappen differentials

As f '(x) ≠ 0, dan Δu en dy lykweardich (doe't Δh → 0); as f '(x) = 0 (betsjutting en dy = 0), se binne net lykweardich.

Bygelyks, as y = x ^2, dan Δu = (x + Δh) ² ─ x ² = 2xΔh + Δh ² en dy = 2xΔh. As x = 3, dan ha wy Δu = 6Δh + Δh ² en dy = 6Δh dy't lykweardich due Δh ² → 0, doe't x = 0 wearde Δu = Δh ² en dy = 0 binne net lykweardich.

Dit feit, tegearre mei de ienfâldige struktuer fan it differinsjaaloperator (m. E. Linearity mei respekt nei Δh), wurdt faak brûkt yn approximate berekkening, op de oanname dat Δu ≈ dy foar lytse Δh. Fine de differinsjaaloperator funksje is meastentiids makliker as te berekkenjen fan de eksakte wearde fan 'e increment.

Bygelyks, wy hawwe metallic cube mei skerp x = 10.00 cm. Oan ferwaarming de râne langer op Δh = 0.001 sm. Hoe tanommen folume cube V? We hawwe V = x ^2, sadat DV = 3x ² = Δh 3 ∙ ∙ February ¹⁰ 0/01 = 3 (sm ^3). Tanommen ΔV lykweardich differinsjaaloperator DV, sadat ΔV = 3 cm ^3. Folsleine berekkening soe jaan ³ ΔV = 10,01 ─ Maart ¹⁰ = 3.003001. Mar it resultaat fan alle sifers útsein it earste onbetrouwbaar; dêrom, is it noch altyd nedich om ôfrûnje maksimaal 3 sm ^3.

Fansels, dizze oanpak is handich allinne as it mooglik is te skatten de wearde imparted mei flater.

Differinsjaaloperator funksje: foarbylden

Lit ús besykje te finen de differinsjaaloperator fan 'e funksje y = x ^3, it finen fan de derivative. Lit ús jouwe de argumintopmaak increment Δu en bepalen.

Δu = (Δh + x) ³ ─ x ³ = 3x ² + Δh (Δh 3xΔh ² + ^3).

Hjir, de Koëffisjint A = 3x ² net ôfhinklik is fan Δh, sadat de earste term is proporsjoneel Δh, de oare lid 3xΔh Δh ² + ³ doe't Δh → 0 nimt ôf flugger as it increment fan it argumint. Dus, lid fan 3x ² Δh is de differinsjaaloperator fan y = x ^3:

dy = 3x ² Δh = 3x ² dx of d (x ³⁾ = 3x ² dx.

Wêrby't d (x ³⁾ / dx = 3x ^2.

Dy We no fine de funksje y = 1 / x troch de derivative. Dan d (1 / x) / dx = ─1 / x ^2. Dêrom dy = ─ Δh / x ^2.

Differentials basis algebraic funksjes wurde jûn hjirûnder.

Approximate berekkeningen mei help differinsjaaloperator

Om evaluearje de funksje f (x), en syn derivative f '(x) at x = een is faak dreech, mar itselde te dwaan yn' e omkriten fan x = a is net maklik. Dan komme oan de help fan 'e likernôch útdrukking

f (a + Δh) ≈ f '(a) Δh + f (a).

Dit jout in likernôch wearde fan 'e funksje by lytse stappen troch syn differinsjaaloperator Δh f' (a) Δh.

Dêrom, dy formule jout in likernôch útdrukking foar de funksje oan de ein punt fan in part fan in lingte Δh as in som fan syn wearde by it begjinpunt fan it part (x = a) en de differinsjaaloperator yn itselde begjinpunt. Krektens fan de metoade foar it fêststellen fan 'e wearden fan' e funksje hjirûnder yllustrearret de tekening.

Wol bekend en de eksakte útdrukking foar de wearde fan 'e funksje x = a + Δh jûn troch formula einige mei stappen (of oars, Lagrange syn formules)

f (a + Δh) ≈ f '(ξ) Δh + f (a),

dêr't it punt x = a + ξ is yn it ynterval út x = a oan x = a + Δh, alhoewol't syn krekte posysje is ûnbekend. De eksakte formule makket it mooglik om evaluearje de dwaling fan de likernôch formule. As wy sette yn de Lagrange formule ξ = Δh / 2, hoewol't it ophâldt te wêzen akkuraat, mar jout, as in regel, in folle bettere oanpak dan de oarspronklike útdrukking yn termen fan 'e differinsjaaloperator.

Evaluaasjeflater formules fout troch it oanbringen fan differinsjaaloperator

Measuring ynstruminten , yn begjinsel, miny-ôfbyldings, en bringe oan de mjitting gegevens oerienkommende mei de flater. Se wurde karakterisearre troch beheinen de absolute flater, of, koartsein, de limyt fout - posityf, dúdlik heechst de fout yn absolute wearde (of op syn heechst gelyk oan it). Beheining fan de relative flater hjit it quotient krigen troch dielen dat troch de absolute wearde fan 'e mjitten wearde.

Lit eksakte formule y = f (x) funksje brûkt om vychislyaeniya y, mar de wearde fan x is de mjitting resultaat, en dêrom bringt de y flater. Dan, te finen it beheinende absolute flater │Δu│funktsii y, mei help fan de formule

│Δu│≈│dy│ = │ f '(x) ││Δh│,

dêr't │Δh│yavlyaetsya marzjinale error argument. │Δu│ kwantiteit moat boppen ôfrûne nei boppen, lykas miny-ôfbyldings berekkening sels is de ferfanging fan 'e increment op' e differinsjaaloperator berekkenjen.