Geometrysk Feike de Boerlaan. Foarbyld oan beslút

Betink in rige.

7 28 112 448 1792 ...

Hiel dúdlik te sjen dat de wearde fan ien fan har eleminten mear as de foarige presys fjouwer kear. Dus, dizze rige is in Progression.

geometryske Feike de Boerlaan neamd ûneinige opienfolging fan nûmers, de wichtichste eigenskip dêrfan is dat it folgjende nûmer is krije by it boppesteande troch fermannichfâldigjen troch guon definitive nûmer. Dat wurdt ta útdrukking brocht yn de folgjende formule.

_{in z +1 = in z · q} , dêr't z - nûmer fan de selektearre elemint.

Accordingly, z ∈ N.

In tiid doe't de skoalle wurdt studearre geometryske Progression - 9th klasse. Foarbylden sille helpe begripe it konsept:

0.25 0.125 0.0625 ...

18 February 6 ...

Op grûn fan dizze formule, de Progression fan de neamer kinne fûn wurde as folget:

Gjin fan beide q, of b _z kin net nul wêze. Ek, elk fan 'e eleminten fan in rige fan sifers Progression moat net wêze nul.

Accordingly, om te sjen it folgjende nûmer fan in nûmer, fermannichfâldigje dy lêste troch q.

Om define dizze Progression, moatte jo oantsjutte it earste elemint dêrfan en de neamer. Dêrnei is it mooglik om te finen ien fan de neikommende leden en harren bedrach.

soarten

Ofhinklik fan de q en in _1, dizze Progression is ferdield yn ferskate soarten:

• As in _1, en q is grutter as ien, dan in opienfolging - tanimmende mei elkoar opfolgjende elemint fan in geometryske Progression. Foarbylden dêrfan binne hjirûnder oanjûn.

Foarbyld: a ₁ = 3, q = 2 - grutter as ienheid, beide parameters.

Dan in opienfolging fan nûmers kinne skreaun wurde as:

3 6 12 24 48 ...

• As | q | minder as ien, dat wol sizze, it is gelyk oan flere troch divyzje, it Progression mei deselde omstannichheden - ôfnimmende geometryske Progression. Foarbylden dêrfan binne hjirûnder oanjûn.

Foarbyld: a ₁ = 6, q = 1/3 - a ₁ is grutter as ien, q - minder.

Dan in opienfolging fan nûmers kinne skreaun wurde as folget:

6 2 2/3 ... - eltse elemint mear eleminten folgjende is, is 3 kear.

• Alternating. As q <0, de tekens fan 'e nûmers fan' e folchoarder alternating hieltyd los fan in _1, en de eleminten fan in stiging of in delgong.

Foarbyld: a ₁ = -3, q = -2 - binne beide minder as nul.

Dan in opienfolging fan nûmers kinne skreaun wurde as:

3, 6, -12, 24, ...

formule

Foar handige gebrûk, der binne in soad geometryske progressions fan de formules:

• Formule z-th termyn. It stelt de berekkening fan it elemint yn in spesifyk tal sûnder berekkenjen fan de foarige nûmers.

Foarbyld: q = 3, a = ₁ 4. nedich om te berekkenjen in fjirde elemint Progression.

Oplossing: a = ₄ 4 3 · ^4-1 · 3 = 4 ³ = 4 · 27 = 108.

• De som fan de earste eleminten, waans nûmer is lyk oan z. It stelt de berekkening fan de som fan alle eleminten yn in rige nei in _z inclusive.

≠ 0, dus, q net 1 - (q 1) Sûnt (1- q) is yn de neamer, dan.

Tink derom: as q = 1, dan it Progression soe hawwe fertsjintwurdige in oantal Fries herhalen it nûmer.

Bedrach exponentially foarbylden: a ₁ = 2, q = -2. Berekkenje S _5.

Oplossing: S ₅ = 22 - berekkening formule.

• Bedrach as | q | <1 en doe't z benaderjen liedt oant yn it ûneinige.

Foarbyld: a ₁ = _2, q = 0.5. Fine de som.

Oplossing: S _z = 2 x = 4

As wy de som fan ferskate leden fan de hantlieding, silst sjen, dat it is yndie ynsette foar fjouwer.

S _z = + 1 + 2 0.5 + 0,25 + 0,125 + 0.0625 = 3.9375 4

Sommige eigenskippen:

• In karakteristyk eigendom. As de folgjende betingst It befettet foar alle z, dan jûn in numerike rige - in geometryske Progression:

in _z ² = A _{z -1} · In _{z + 1}

• It is ek it plein fan in getal is exponentially troch middel fan oanfolling fan de kwadraten fan de oare twa getallen yn alle opjûne rige, as se equidistant fan it elemint.

² a _z = in _{z - t} ² ₊ in _z + _T ² wêr t - de ôfstân tusken dizze nûmers.

• De eleminten ferskille troch q tiden.
• De logarithms fan 'e eleminten fan Progression likegoed foarmje in Progression, mar de rekkenkunde, dat is, elk fan harren mear as de foarige troch in bepaald oantal.

Foarbylden fan guon klassike problemen

Om better begripe wat in geometryske Progression, mei it beslút foarbylden foar graad 9 kin helpe.

• Betingsten en kondysjes: a ₁ = 3, a ₃ = 48. Find q.

Oplossing: eltse opfolgjende elemint yn mear as de foarige q tiid. It is needsaaklik om te drukken guon eleminten troch oare fia neamer.

Dus, a ₃ = q ² · a ₁

As substituting q = 4

• Betingsten: a ₂ = 6, a = ₃ 12. Calcula S _6.

Oplossing: Dat giet sa, it folstiet te finen q, it earste elemint en substitút yn 'e formule.

a ₃ = q · a _2, dus, q = 2

a ₂ = q · A _1, dus a = ₁ 3

S = ₆ 189

• · A ₁ = 10, q = -2. Fine de fjirde elemint fan Progression.

Oplossing: it is genôch om uterje de fjirde elemint troch de earste en troch de neamer.

₄ a ³ = q · a = ₁ -80

Applikaasje foarbyld:

• Bank client hat bydroegen de som fan 10,000 roebel, ûnder dêr't elk jier de klant oan it haadstimburo bedrach wurdt tafoege 6% fan it al. Hoefolle jild is yn 'e rekken nei 4 jier?

Oplossing: De initial bedrach gelyk oan 10 tûzen roebel. Dus, in jier neidat de ynvestearrings yn de akkount sil it bedrach gelyk oan 10000 + 10000 = 10000 · 0,06 · 1.06

Accordingly, it bedrach yn 'e rekken sels nei ien jier wurdt útdrukt as folget:

(10000 · 1.06) · 10000 · 0,06 + 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000

Dat is, alle jierren it bedrach ferhege oant 1.06 kear. Hjirwei, te finen fan it nûmer fan de rekken nei 4 jier, it folstiet en finen fan in fjirde elemint Progression, dat wurdt jûn earste elemint gelyk oan 10 tûzen, en de neamer lyk oan 1.06.

S = 1,06 · 1.06 · 1.06 · 1.06 · 10000 = 12625

Foarbylden fan problemen yn de berekkening fan de som fan:

Yn ferskate problemen mei help fan geometryske Progression. In foarbyld fan it finen fan de som kinne ynsteld wurde as folget:

a ₁ = 4, q = 2, berekkene S _5.

Oplossing: alle nedige gegevens foar de berekkening bekend binne, gewoan ferfange se yn 'e formule.

S ₅ = 124

• a ₂ = 6, a = ₃ 18. Calcula de som fan de earste seis eleminten.

oplossing:

The Geom. de fuortgong fan elk elemint fan de folgjende grutter as it foarige q kear, dat wol sizze, te berekkenjen fan it bedrach dat jo witte moatte it elemint in ₁ en de neamer q.

a ₂ · q = a ₃

q = 3

Sa ek de needsaak om te finen in _1, in ₂ en wist q.

a ₁ · q = a ₂

a ₁ = 2

En dan it folstiet en ferfangen fan de bekende gegevens yn de formule bedrach.

S ₆ = 728.